Was bedeutet es, die Konvexität von Optionen zu verlängern?

Zunächst wollen wir verstehen, was Konvexität bedeutet: Konvexität -

Konvexität bezieht sich auf Nichtlinearitäten in einem Finanzmodell. Mit anderen Worten, wenn sich der Preis einer zugrundeliegenden Variable ändert, ändert sich der Preis einer Ausgabe nicht linear, sondern hängt von der zweiten Ableitung (oder, grob gesagt, von Termen höherer Ordnung) der Modellierungsfunktion ab. Geometrisch gesehen ist das Modell nicht mehr flach, sondern gekrümmt, und der Grad der Krümmung wird als Konvexität bezeichnet.

Okay, für uns Idioten bedeutet das: Wenn der Preis von ABC (wir nennen ihn P) durch X und Y bestimmt wird. Wenn X um 5 sinkt, dann sinkt der Wert von P nicht notwendigerweise um 5, sondern ist auch von Y abhängig (wtf$%#! ist Y?, wen interessiert’s, es ist nicht wichtig für uns zu wissen, wir können verstehen, was Konvexität ist, ohne die Mathematik dahinter zu kennen). Wenn wir dies also aufzeichnen, würde die Linie wie eine Kurve aussehen.

(klar ist das eine übermäßige Vereinfachung der involvierten Mathematik, aber es gibt uns eine Idee)

Also, jetzt in Bezug auf Optionen, ist die Konvexität auch als Gamma bekannt, es wird wahrscheinlich einfacher sein, über Gamma zu sprechen, anstatt ein verwirrendes Wort wie Konvexität zu verwenden (Gamma ist die Konvexität von Optionen).

So lassen Sie uns Gamma definieren: Gamma - Die Änderungsrate für Delta in Bezug auf den Preis des unterliegenden Aktivums.

Das Gamma einer Option zeigt also an, wie sich das Delta einer Option relativ zu einer 1-Punkt-Bewegung des unterliegenden Aktivums ändern wird. Mit anderen Worten, das Gamma zeigt die Empfindlichkeit des Optionsdeltas auf Marktpreisänderungen.

oder

Gamma zeigt, wie volatil eine Option im Verhältnis zu den Bewegungen des unterliegenden Aktivums ist.

Die Antwort lautet also:

Wenn wir Gamma (Konvexität einer Option) long sind, bedeutet das einfach, dass wir auf eine höhere Volatilität des unterliegenden Aktivums (in Ihrem Fall der VIX) wetten.

Wirklich so einfach? Nun, irgendwie schon, um vollständig zu verstehen, wie das funktioniert, müssen Sie wirklich die Mathematik dahinter verstehen. Aber ja, Long Gamma zu sein bedeutet, Long Volatilität zu sein.

Ein Beispiel für “Long Gamma” ist ein “Long Straddle”

Nebenbemerkung:

Ich persönlich handele mit dem VIX und er kann sehr volatil sein, man kann sehr schnell viel Geld mit dem Handel von VIX-Optionen verdienen oder verlieren.

Einige Ressourcen: Was bedeutet es, im Optionshandel “Long Gamma” zu sein? Convexity(finance) Long Gamma - How to Make a Long Gamma Position Work for You Delta - Investopedia Straddles & Strangles - weitere Lektüre bei Interesse. Carry(investment) - noch mehr Lesestoff.

Stellen Sie sich vor, Sie haben eine positive Sicht auf eine Aktie. Sie denken, dass sie unterbewertet ist, aber Sie sind zu schlau, um zu glauben, dass der Markt, sobald Sie eine Position eröffnet haben, plötzlich verstehen wird, wo er sich geirrt hat, und anfangen wird, die Aktie richtig zu bewerten, wodurch die Aktie steigt und Sie Geld verdienen. Idealerweise würden Sie, wenn die Aktie anfängt zu steigen, Ihre Position erweitern, um den Trend des steigenden Aktienkurses mitzunehmen. Sie haben jedoch ein Leben und wollen nicht den ganzen Tag über das Terminal gebeugt sein.

Eine lange Konvexität zu haben, behebt dies. Der Kauf von Optionen mit langer Laufzeit und niedrigem Delta bedeutet, dass das Delta (d.h. die Exposition gegenüber dem Underlying) Ihrer Position zu steigen beginnt, sobald der Markt beginnt, sich in die richtige Richtung zu bewegen. Wenn Sie mit einer sehr aus dem Geld liegenden Option mit einem Delta von 0,01 begonnen haben, könnten Sie theoretisch Ihr Engagement um das Hundertfache erhöhen, wenn sich der Aktienkurs dem Ausübungspreis Ihrer Option nähert und ihn dann überschreitet.

Offensichtlich ist das ein idealisiertes und höchst unwahrscheinliches Szenario. Sie bräuchten eine Bewegung des Underlyings mit drei oder vier Standardabweichungen - ein wahrhaftiger schwarzer Schwan -, damit die Dinge so gut funktionieren, aber das allgemeine Prinzip bleibt bestehen. Eine lange Konvexitätsposition erhöht automatisch Ihr Engagement, wenn Ihre Position beginnt, Geld zu verdienen (und umgekehrt).

Leider ist dieses günstige Verhalten nicht billig. Sie müssen Zeitwert kaufen, der Ihre Rendite für jeden Tag, an dem sich die Aktie nicht bewegt, erodieren wird. Sie können dies ausgleichen, indem Sie sehr lange datierte Optionen kaufen, aber diese sind natürlich sehr teuer. Insgesamt ist ein positives Gamma jedoch definitiv etwas, das man anstreben sollte, selbst auf Kosten eines negativen Thetas, weil es Sie nachts besser schlafen lässt.

Ich habe dies in Bezug auf Calls und einen bullischen Ausblick erklärt. Genau das Gleiche gilt, wenn Sie Puts kaufen und einen bärischen Ausblick haben. Die Details sind als Übung für den Leser gedacht.

Konvexität ist das, was Optionen ihre L- oder Ellbogenform verleiht. Gamma ist ein Synonym für Konvexität. Lassen Sie sich von diesem Begriff nicht erschrecken. Erinnern Sie sich an konkav und konvex in der Geometrie? Wenn eine Form eine Krümmung hat (z. B. eine Tasse oder eine Linse), dann hat sie Konvexität. Eine gerade Linie hat keine Krümmung, keine Konvexität.

Wenn eine Kaufoption tief im Geld ist, hat sie ein Delta oder eine Neigung von eins. Wenn sie tief aus dem Geld ist, hat sie ein Delta oder eine Steigung von Null. Um die Kurve gleichmäßig zu verbinden, brauchen Sie eine Biegung. Diese Krümmung ist die Konvexität.

Im Gegensatz dazu hat eine zugrunde liegende Aktie keine Konvexität; ihr Delta oder ihre Steigung ist immer eins (eine Konstante), also ist die Veränderung des Deltas gleich Null.

Erinnern Sie sich aus der Infinitesimalrechnung, dass die erste Ableitung die Steigung der Kurve darstellt, während die zweite Ableitung die Änderung der Steigung ist. Eine Aktie hat eine konstante Steigung und eine zweite Ableitung von Null. Sie hat keine Konvexität.

Wenn Sie eine Option kaufen, werden Sie eine positive Konvexität oder eine Smile-Form haben. Wenn Sie eine Option verkaufen, werden Sie eine Stirnform oder eine negative Konvexität haben.

Wir können jetzt den Kommentar von Cornett interpretieren. Market-Maker sind in der Regel Short-Konvexität, weil Institutionen Puts kaufen, um ihr Abwärtsrisiko abzusichern. MMs sammeln Prämien in Form von Time Decay oder Theta. Sie können sich dieses Einkommen als negativen Carry vorstellen, weil die MMs dafür bezahlt werden, diese Position zu tragen.

Eine große Spanne zwischen der realisierten Volatilität der Vergangenheit von 10 und einer zukunftsgerichteten IV von 20 kann durch Institutionen erklärt werden, die aggressiv Versicherungen in Form von Put-Optionen kaufen, oder durch MMs, die aggressiv Put-Optionen kaufen, um überschüssiges negatives Gamma-Engagement aus ihren Büchern zu entfernen. Anstatt den negativen Carry durch ein größeres Buch zu verdienen, verzichten MMs auf ein gewisses Einkommen, indem sie aggressiv einen Teil dieses Risikos auslagern.

Eine letzte Anmerkung: Die Konvexität von Anleihen ist auch eine Krümmung (in der Laufzeitstruktur), genau analog zu der Krümmung bei Optionen, beide beziehen sich auf die zweite Ableitung.

Lange Konvexität wird durch den Besitz von lang datierten Low-Delta-Optionen erreicht. Wenn eine signifikante Bewegung im Underlying auftritt, bewegt sich die Volatilitätskurve nach oben. Anstelle einer linearen Beziehung zwischen Ihrer Long-Position und ihrer Rendite erhalten Sie ein Vielfaches der linearen Rendite.

Zum Beispiel: Aktienkurs $50

Long 1 (entspricht 100 Aktien) Kontrakt eines 2-Jahres-100-Call Nehmen wir an, dass dies eine 5-Delta-Option ist. Wenn der Aktienkurs auf $70 steigt, wird das Delta der Option steigen, weil sie jetzt näher am Strike ist. Nehmen wir an, dass es jetzt eine 20-Delta-Option ist. Dann ist der erwartete Ertrag bei einer Preisbewegung von $20 höher, 100 Aktien($20)(.20-.05)=$300

Was jedoch passiert, ist, dass die gesamte Volatilitätsfläche steigt und verursacht, dass die 20 Delta-Option zu einer 30 Delta-Option wird. Dann ist die Rendite bei einer Preisbewegung von $20 höher, 100 Aktien($20)(.30-.05)=$500

Dieser zusätzliche Gewinn von $200 ist auf die Konvexität zurückzuführen und erklärt, warum die Optionshändler bereit sind, mehr als den theoretischen Preis für diese Optionen zu bezahlen.

Ich mag es nicht, einen alten Beitrag wiederzubeleben, aber dies kam in meiner Suche auf, also vielleicht hilft dies jemandem irgendwann weiter.

Da die Mathematik sehr ähnlich ist, kann man ein physikalisches Problem als Metapher verwenden. Die Idee der Konvexität lässt sich gut erklären, wenn man sie mit einem Bewegungs-/Verschiebungsproblem in der Physik vergleicht.

Lassen Sie uns ein paar Dinge gleichsetzen:

Entfernung = Preis (oder Auszahlung) der Option

Zeit = Änderung des Basiswertpreises

Geschwindigkeit = [Änderung der Entfernung / Zeit] = {Änderung des Optionspreises / Änderung des Basiswertpreises} = (griechisch: Delta)

Beschleunigung = [Änderung der Geschwindigkeit / Zeit] = {KONVEXITÄT} = (griech: Gamma)

Unter konstanter Beschleunigung* ist die Verschiebung eines Teilchens (Änderung der Entfernung, also Änderung des Optionspreises) in Abhängigkeit von der Zeit: Änderung D = (S * T) + (½) * (A * (T^2))

** In der Realität ist die Mathematik viel komplexer. Zum Beispiel würde eine Option keine konstante Beschleunigung haben, aber die Teilchenbewegung ist viel komplexer, wenn A nicht konstant ist, und wir wollen es einfach halten. (Spaßfakt ist, dass das gesamte Black-Scholes-Preismodell für Optionen von der Untersuchung eines Spezialfalls der Teilchenbewegung abgeleitet ist! Es wird Brownsche Bewegung genannt.)

Sie können sehen, dass A, {Konvexität}, einen größeren Effekt auf D, {den Preis einer Option}, hat als S (Delta). - Vorausgesetzt, dass T [Änderung des Preises des unterliegenden Aktivums] ausreichend groß ist, natürlich.

In Wirklichkeit sind A und S beide Funktionen von T, sowie von historischen T-Werten, Strike-Preis, Verfallsdatum, Kontrakttyp und Zinssätzen. Die Situation wird also sehr, sehr unübersichtlich. Aber der Vergleich mit der Teilchenbewegung, der Quelle, hat mir immer geholfen, die Beziehungen zwischen den Variablen besser zu verstehen. Ich hoffe, es hilft Ihnen auch!

Lassen Sie mich das mal ausprobieren:

1. WAS IST KONVEXITÄT

Die Veränderung kann auf viele Arten mathematisch erklärt werden, eine Möglichkeit ist die Taylorreihe . Menschen, die Mathematik in der Finanzbranche verwenden, benutzen den Begriff Dauer, um sich auf die Ableitung erster Ordnung zu beziehen und benutzen das Wort Konvexität, um sich auf die Ableitung zweiter Ordnung zu beziehen.

Change in Price = -Duration * Delta + 0.5 * Convexity * Delta^2 + ...

In “normalen” Tagen werden Sie sich nicht um den Rest der Reihen kümmern, da sie vernachlässigbar sind und sehr selten kümmern sich Leute sogar um Convexity.

Es ist einfach, Konvexität nur als positiv zu betrachten, aber in der Finanzwelt gibt es immer zwei Seiten, so dass Konvexität manchmal auch negativ sein kann, wie bei hypothekarisch gesicherten Wertpapieren.

(In den USA können die meisten Hausbesitzer ihre festverzinsliche Hypothek vorzeitig zurückzahlen, wie mit einer eingebetteten Kaufoption. Wenn der Zinssatz steigt, sinkt die vorzeitige Rückzahlung, die Duration erhöht sich und wird empfindlicher, wenn der Zinssatz sinkt, erhöht sich die vorzeitige Rückzahlung, verkürzt die Duration und reagiert weniger empfindlich auf den Rückgang, ist in beide Richtungen negativ)

2. WARUM ICH KONTEXITÄT BRAUCHE

Wenn sich die Renditekurve jedoch nicht parallel verändert, werden die Dinge interessant und eine hohe Konvexität wird zu einem sicheren Hafen, den die Leute verfolgen, da der Effekt IMMER positiv ist. Wenn Sie eine hohe Konvexität haben, hell yeah! Sie schneiden besser ab als diejenigen mit der gleichen Duration, wenn die Rendite hoch oder niedrig wird. Es gibt keine kostenlose Mahlzeit, für diejenigen, die wissen, dass die Renditekurve volatil sein wird, aber die Richtung nicht kennen, ist Konvexität wie eine Versicherung, die einen Preis hat. Die Investoren verzeihen einen Teil des Gewinns und erleiden nur dann Verluste, wenn die Renditekurve gleich bleibt, aber sollte es eine Änderung in die eine oder andere Richtung geben, zahlt die Versicherung zurück.

3. WIE ERHALTE ICH KONVEXITÄT

Anleihen mit längerer Duration haben tendenziell eine höhere Konvexität, aber für die Leute, die versuchen, die gleiche Duration beizubehalten, kommen hier Derivate oder Optionen ins Spiel. Sie können entweder die Konvexität reduzieren, indem Sie Anleihen mit eingebetteten Optionen verkaufen, wie z.B. kündbare Anleihen, hypothekarisch gesicherte Wertpapiere und vice versa. Für diejenigen, die ohne Einschränkungen Derivate kaufen dürfen (viele Fixed-Income-Manager dürfen Derivate nicht anfassen), können sie Future-Kontrakte kaufen. Future-Kontrakte sind von Natur aus eine EXTREM hoch gehebelte Position, die einzige erforderliche Investition ist die Marge, um die Position zu halten.

4. Beispiele

Um Ihnen ein Gefühl zu geben, könnte ein US-2-Jahres-Papier eine Duration nahe 2 mit einer effektiven Konvexität von 0,05 haben, während ein US-30-Jahres-Papier mit einer Duration von 22 und einer Konvexität von 6, das zum Nennwert geschlossen ist, etwa $100 kostet. Bei einem Future-Kontrakt könnte der Preis jedoch nur $ 4 betragen, bei einer Konvexität von 800 und einer effektiven Duration von 400!

Konvexität bezieht sich auf Vega. Gamma bezieht sich auf Delta. Negativer Übertrag bezieht sich auf den Zeitabfall.