Was bedeutet der durchschnittliche Log-Return-Wert einer Aktie?

Log-Renditen werden sehr häufig in der Finanzmathematik verwendet, insbesondere in der quantitativen Finanzwissenschaft. Die wichtige Eigenschaft ist, dass sie in Bezug auf die Addition symmetrisch um 0 sind.

Diese Eigenschaft macht es möglich, von einer durchschnittlichen Rendite zu sprechen.

Wenn zum Beispiel eine Aktie über einen bestimmten Zeitraum um 20 % fällt, muss sie um 25 % steigen, um wieder dort zu sein, wo man angefangen hat. Für die Log-Rendite hingegen sind die Zahlen 0,223 nach unten über einen bestimmten Zeitraum und 0,223 nach oben, um wieder auf Platz 1 zu kommen.

In diesem Sinne können Sie einfach ein arithmetisches Mittel nehmen und es macht Sinn. Sie können beliebig Werte auf der Log-Rendite-Skala addieren oder subtrahieren, wie z. B. Log-Zinssätze oder Log-Inflationsraten. Das arithmetische Mittel von (nicht-logarithmischen) Renditen hingegen ist einfach sinnlos: Eine Aktie mit Renditen von -3% und +3% hätte im Durchschnitt 0%, wenn die Aktie tatsächlich im Kurs gesunken ist?

Der korrekte Ansatz bei direkten Kursrenditen wäre, einen anderen Mittelwert zu nehmen (z.B. geometrisch), um einen anständigen Durchschnitt zu erhalten. Und dennoch wird es schwierig sein, andere Informationen einzubeziehen, wie z.B. das Abziehen des risikofreien Zinssatzes oder der Inflationsrate, um risikobereinigte Durchschnittsrenditen zu erhalten.

Kurz gesagt: Log-Renditen sind rechnerisch einfacher zu handhaben, besonders in großen Mengen, aber Nicht-Log-Renditen sind einfacher zu verstehen/vorzustellen als eine eigene Zahl.

Wahrscheinlich ist der beste Weg, dies zu untersuchen, ein Beispiel zu betrachten. Erstens, wie die Kommentatoren oben bereits gesagt haben, ist die Log-Rendite einer Periode log(Preis zum Zeitpunkt t/Preis zum Zeitpunkt t-1), was ungefähr gleich der prozentualen Änderung des Preises vom Zeitpunkt t-1 zum Zeitpunkt t ist, vorausgesetzt, dass diese prozentuale Änderung nicht groß ist im Vergleich zur Größe des Preises. (Beachten Sie, dass Sie hier den natürlichen Log, d.h. log zur Basis e – ln-Taste auf einem Taschenrechner – verwenden müssen).

Der Hauptnutzen der Log-Rendite ist, dass sie ein Proxy für die prozentuale Veränderung des Preises ist, was sich aus verschiedenen Gründen, die größtenteils schon in den Kommentaren erwähnt wurden, als mathematisch praktisch erweist.

Aber das wissen Sie ja bereits; Ihre eigentliche Frage bezieht sich auf die durchschnittliche Log-Rendite über einen bestimmten Zeitraum. Was sagt dies über die Aktie aus?

Die Antwort ist: Wenn sich der Aktienkurs nicht sehr stark verändert, dann ist die durchschnittliche Log-Rendite ungefähr gleich der durchschnittlichen prozentualen Veränderung des Kurses und ist sehr einfach und schnell zu berechnen. Wenn der Aktienkurs jedoch sehr volatil ist, dann kann die durchschnittliche Log-Rendite stark von der durchschnittlichen prozentualen Veränderung des Kurses abweichen.

Hier ein Beispiel: Die Schlusskurse für Pitchfork Oil aus der letzten Handelswoche sind: 10, 5, 12, 5, 10, 2, 15. Die prozentualen Änderungen sind: -0,5, 1,4, -0,58, 1, -0,8, 6,5 (wobei -0,5 -50% bedeutet, usw.) Die durchschnittliche prozentuale Änderung ist 1,17, oder 117%. Auf der anderen Seite sind die Log-Renditen für den gleichen Zeitraum -0,69, 0,88, -0,88, 0,69, -1,6, 2, und die durchschnittliche Log-Rendite beträgt etwa 0,068. Wenn wir dies als Proxy für die durchschnittliche prozentuale Veränderung des Kurses über die gesamten sieben Tage verwenden würden, würden wir 6,8 % statt 117 % erhalten, was völlig falsch ist. Der Grund, warum es falsch ist, ist, dass der Preis so stark schwankte.

Auf der anderen Seite sind die Schlusskurse für United Marshmallow im gleichen Zeitraum 10, 11, 12, 11, 12, 13, 15. Die durchschnittliche prozentuale Änderung von Tag zu Tag ist 0,073, und der durchschnittliche Log-Return ist 0,068, also ist in diesem Fall der Log-Return sehr nah an der prozentualen Änderung. Und sie hat den Vorteil, dass sie nur aus dem ersten und dem letzten Preis berechnet werden kann, da die Eigenschaften von Logarithmen implizieren, dass sie sich zu (log(15)-log(10))/6 vereinfacht. Beachten Sie, dass dies genau dasselbe ist wie für Pitchfork Oil.

Ein Grund, warum Sie an der durchschnittlichen Log-Rendite interessiert sein könnten, ist also, dass sie eine sehr schnelle Möglichkeit bietet, die durchschnittliche Rendite zu schätzen, wenn sich der Aktienkurs nicht sehr stark ändert.

Ein anderer, subtilerer Grund ist, dass er sich tatsächlich besser verhält als die prozentuale Rendite. Wenn der Preis von Pitchfork von 5 auf 12 springt und dann wieder auf 5 zurückfällt, sind die prozentualen Änderungen +140% und -58%, für einen Durchschnitt von +82%. Das hört sich gut an, aber wenn Sie es bei 5 gekauft und dann bei 5 verkauft hätten, hätten Sie tatsächlich 0% an Ihrem Geld verdient. Die Log-Renditen für den gleichen Zeitraum haben diese störende Eigenschaft nicht, denn sie summieren sich zu 0%.

Was ist der wirkliche Unterschied in diesem Beispiel? Nun, wenn Sie Pitchfork am Dienstag für $1 gekauft hätten, als der Kurs bei 5 lag, und es am Mittwoch verkauft hätten, als der Kurs bei 12 lag, hätten Sie einen Gewinn von $1,40 gemacht. Hätten Sie dann am Mittwoch weitere $1 gekauft und am Donnerstag verkauft, hätten Sie einen Verlust von $0,58 gemacht. Insgesamt hätte Ihr Gewinn $0,82 betragen. Das ist die Berechnung der durchschnittlichen prozentualen Rendite.

Wären Sie hingegen ein langfristiger Investor gewesen, der am Dienstag gekauft und bis Donnerstag durchgehalten hat, dann ist die Angabe einer “durchschnittlichen Rendite” von 82% höchst irreführend, denn sie entspricht in keiner Weise der Rendite von 0%, die Sie tatsächlich erhalten haben!

Die Moral ist, dass es besser sein kann, die Log-Renditen zu betrachten, wenn Sie ein Buy-and-Hold-Typ von Investor sind, weil Log-Renditen sich aufheben, wenn die Preise schwanken, während prozentuale Preisänderungen dies nicht tun. Die Kehrseite der Medaille ist jedoch, dass die durchschnittliche Log-Rendite über einen bestimmten Zeitraum nicht viel Aufschluss darüber gibt, wie sich die Preise entwickelt haben, da sie nur (log(Endpreis) - log(Anfangspreis))/Anzahl der Perioden ist. Da es so einfach ist, es aus den Anfangs- und Endpreisen selbst zu berechnen, sehen Sie es normalerweise nicht auf den Finanzseiten, soweit ich weiß.

Zum Schluss, um Ihre Frage zu beantworten: “Sagt die Kenntnis dieser einen Information etwas über die Aktie aus?”, würde ich sagen: nicht wirklich. Aus der Sicht dieses einen Indikators sehen Pitchfork Oil und United Marshmallow wie identische Investitionen aus, obwohl sie es eindeutig nicht sind. Die Kenntnis des durchschnittlichen Log-Returns ist genau dasselbe wie die Kenntnis des Verhältnisses zwischen End- und Anfangskurs.

Die Kenntnis der logarithmischen Rendite ist nützlich - die logarithmische Rendite kann Ihnen helfen, die jährliche Rendite über den Zeitraum zu berechnen, für den sie geschätzt wurde - und diese sollte zwischen den Aktien vergleichbar sein.

Man sollte nur vorsichtig mit der Berechnung sein, damit die Berücksichtigung von Dividenden sinnvoll ist.