Gilt das Black-Scholes-Modell auch für American Style Optionen?

Der Unterschied zwischen einer amerikanischen und einer europäischen Option besteht darin, dass die amerikanische Option jederzeit ausgeübt werden kann, während die europäische Option nur am Erfüllungstag liquidiert werden kann. Die amerikanische Option ist ein Instrument mit “kontinuierlicher Zeit”, während die europäische Option ein Instrument mit “Zeitpunkten” ist. Für die letztere, die europäische Option, gilt Black Scholes. Unter “bestimmten” (aber bei weitem nicht allen) Umständen sind die beiden nahe genug, um als Substitute betrachtet zu werden.

Einer ihrer Jünger, Robert Merton, “zwickte” es, um amerikanische Optionen zu beschreiben. Darüber und über andere Optimierungen gibt es Jahre später Debatten.

Black-Scholes ist “nah genug” für amerikanische Optionen, da es in der Regel keine Gründe für eine frühzeitige Ausübung gibt, so dass die Fähigkeit, dies zu tun, keine Rolle spielt. Was gut ist, da es mathematisch schwer zu modellieren ist, habe ich gelesen.

Eine frühzeitige Ausübung würde normalerweise durch eine seltsame Fehlbewertung aus irgendeinem technischen/marktbezogenen Grund verursacht werden, wo die theoretischen Optionsbewertungen durcheinander gebracht werden. Wenn Sie z.B. einen Call verkaufen, der weit im Geld ist und keinen Zeitwert (nach dem Spread) erhält, haben Sie den Call wahrscheinlich an einen Arbitrageur verkauft, der ihn gerade ausüben wird. Aber ungewöhnliche Dinge wie diese ändern das Gesamtbild nicht wesentlich.

Nur ein paar Beobachtungen im Rahmen von Black-Scholes:

• Amerikanische Calls haben den gleichen Preis wie europäische Calls auf nicht-dividendenzahlende Aktiva.
• Die Black-Scholes Formel ist nur auf europäische Optionen anwendbar (und, durch das oben Gesagte, auf amerikanische Calls auf nicht dividendenzahlende Aktiva).
• Durch die Call-Put-Parität, wenn Sie europäische Call-Preise für einige Verfallsdaten und Strikes haben, haben Sie auch die europäischen Put-Preise für diese Verfallsdaten und Strikes.
  
• Wenn Sie europäische Call-Preise für ein bestimmtes Verfallsdatum T für alle Strikes haben, können Sie leicht den Preis jeder “europäischen” Auszahlung für diesen Verfall berechnen (z.B. ein digitaler Call V = 1_{S>K}, oder eine Parabel V = S^2, oder was auch immer). Konzeptionell bilden Sie Butterfly-Spreads __/_ für eine Reihe von ansteigenden Strikes, und sie geben Ihnen die “risikoneutrale” Wahrscheinlichkeit, dass Sie dort landen, und dann integrieren Sie einfach über Ihren Payoff.

Als nächstes können Sie jetzt das Black-Scholes-Rahmenwerk (Aktienpreis ist eine Geometrische Brownsche Bewegung, keine Transaktionskosten, ein einziger Zinssatz, usw. usw.) und numerische Methoden (wie ein PDE-Löser) verwenden, um Optionen im amerikanischen Stil numerisch zu bewerten, aber nicht mit einer einfachen geschlossenen Formel (obwohl es geschlossene Formapproximationen gibt).

Eine kleine Tangente. Man kann behaupten, dass der S&P eine mittlere Rendite von, sagen wir, 10% und eine Standardabweichung von, sagen wir, 14% oder so hat, aber wenn man damit arbeitet, stellt man fest, dass die tatsächlichen Renditen nicht so gut in die Standard-Glockenkurve passen. Marktanomalien produzieren die “100-Jahres-Flut” viel häufiger als vorhergesagt, sogar über einen Zeitraum von 20 Jahren. Das bedeutet einfach, dass das Modell die Realität an den Schwänzen nicht widerspiegelt, auch wenn die +/- 2 Standardabweichungen hübsch aussehen.

Das gilt auch für die Black-Sholes (ich hätte es fast mit den Initialen abgekürzt, dachte dann aber besser, ich mag das Modell). Der Unterschied zwischen amerikanisch und europäisch ist klein genug, dass die Genauigkeit des Modells größer ist als der Unterschied dieser beiden Optionsstile. Ich glaube, wenn Sie sich das Modell und die tatsächlichen Preise ansehen, können Sie die Volatilität einer bestimmten Aktie bestimmen, indem Sie Preise um den Ausübungspreis herum verwenden, aber wenn Sie dann die gut aus dem Geld laufenden Optionen modellieren, finden Sie oft, dass der Markt seine eigene Bewertung erstellt.

Ja, Ihr Verständnis ist richtig. Streng genommen wird das Black-Scholes-Modell verwendet, um europäische Optionen zu bewerten. Der Payoff (Preis) von europäischen und amerikanischen Optionen ist jedoch nahe genug und kann als Näherung verwendet werden, wenn keine Dividenden auf das Underlying gezahlt werden und die Liquiditätskosten nahe Null sind (z. B. in einem Szenario mit sehr niedrigem Zinssatz).

Bis jetzt gibt es keine geschlossenen Methoden, um amerikanische Optionen zu bewerten. Zumindest keine, von der ich weiß. Sie sollten sich auf lattices für multi-period binomial pricing ) verlassen, das meistens rekursiv ist.

Da es keinen Vorteil bringt, eine amerikanische Call-Option frühzeitig auszuüben, können wir die Black-Schole-Formel verwenden, um die Option zu bewerten, aber es ist wahrscheinlicher, dass eine amerikanische Put-Option frühzeitig ausgeübt wird, was bedeutet, dass die Black-Schole-Formel für diese Art von Option nicht gilt